ジョルダンの標準形

まだまだ続く、線形代数。
今回は、いきなり行列が与えられて、

「ジョルダンの標準形」と「一般化固有ベクトル」を出せ。

と言われて　　さあ困った、どうする。。（´Д｀）　という
シチュエーションを想定。
こういう想定だと身が入るでしょ？精神衛生上は悪いけど。ｗ


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これが与えられた行列。　これの、ジョルダンの標準形　と
一般化固有ベクトル　を大至急でっち上げなくてはならない。

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＜１＞　特性方程式から固有値を計算する。

特性方程式の定義の通り、とにかく書き出す。
実は、前回のこれは、まさにこれなんですよ。

なので、ここまでの計算は前回参照。するとこれは、

　と書ける。
つまり、
固有値 λ は λ = 2, -2 （それぞれ重複度 = 2） となる。



＜２＞　λE - A を計算

まずは、λ = 2 の場合。
λE - A　を書き下すとこうなる。


＜３＞　を計算
上の結果と、x = (x,y,z,u) （本当は縦並び）を
演算してバラすと、こうなる。

結局この (2)と(4)は等価なので、(1)(2)(3)だけ考えることにする。



＜４＞　固有ベクトルを出す

(1)で x = 1 とすると　y は任意だから 0 とおくと、 z = i 　となり、さらに　x1 のノルムを計算して規格化するとこうなる。

(2)で y = 1 とすると、同様に u = i となり、同様に規格化するとこうなる。




＜５＞　他の固有値でも＜２＞〜＜４＞を繰り返す

λ = -2 の場合も同様に＜２＞〜＜４＞の計算をすると、また別の固有ベクトルが２つ求まる。




＜６＞　変換行列Ｐを求める

求めた固有ベクトルを順番に並べると、こういうふうに
変換行列Ｐになるそうな。理由は知らん。




＜７＞　Ｐ-1　を計算する

Ｐの逆行列を計算する。やってみると、こうなる。




＜８＞　Ｐ-1ＡＰを計算する
Ｐ-1ＡＰを計算する。まずはこういうふうに並べて、

結局こうなる。

これが、ジョルダンの標準形　。

確かにそういう形になってるな。




（2009.9.9追記）
１８１ページの、演習問題[4](a)。固有ベクトルを求めてそれを並べて変換行列Ｐを作ってるんだけど、固有ベクトル規格化してないみたい。
規格化してない固有ベクトルを並べて変換行列作ってもいいのかな〜？どうなんだろ〜？？